Calcul dynamique des plaques rectangulaires reposant sur la surface du milieu élastique de propriétés inertielles

Abstract

L'étude statique ou dynamique des poutres et des plaques reposant sur la surface ou à l’intérieur des milieux élastiques reste un sujet d’actualité vu l’utilisation accrue de ce genre de structures dans les différents domaines de construction, notamment celui du génie civil, génie mécanique, secteur naval, secteur aéronautique etc. Ce genre d’étude à réaliser doit être accomplie de façon authentique afin d’aboutir, d’une manière rationnelle et précise, au maximum du comportement réel statique et dynamique des structures en interaction avec des milieux élastiques. Dans ce contexte, ce travail de thèse de doctorat est focalisé sur une approche semi-analytique, basant sur le couplage de deux études essentielles relatives à la structure et au milieu élastique, permettant l’analyse dynamique des plaques rectangulaires reposant sur la surface d’un semi-infini élastique de propriétés inertielles (modèle de Lamb). L’approche utilisée est basée sur une méthode de calcul connue dans la théorie d’élasticité sous le nom ‘la méthode mixte’, et connue aussi dans certaines littératures sous le nom ‘la méthode de Zhemochkin’. Le principe de cette méthode pour notre étude consiste à discrétiser le système étudié (plaque rectangulaire reposant sur la surface du semi-infini élastique de propriétés inertielles) en un nombre fini d’éléments rectangulaires identiques. Le contact continu entre la plaque et la surface du semi-infini élastique est donc remplacé par un contact partiel assuré par des liaisons se trouvant au niveau des centres des éléments de discrétisation. L’application de l’approche proposée, basée sur la méthode mixte, aboutit finalement à un système d’équations canoniques linéaire contenant plusieurs paramètres relatifs à la structure étudiée. Les deux paramètres essentiels du système d’équations canoniques représentent les déplacements verticaux de la plaque et les déplacements de la surface du semi-infini élastique sur laquelle la plaque se repose. La méthode énergétique de Ritz est utilisée pour déterminer les déflexions de la plaque étudiée, alors que les déplacements verticaux de la surface du semi-infini élastique sont déterminés par l’étude de la fonction de Green pour le modèle de Lamb. L’étude de la fonction de Green est la tâche la plus compliquée et la plus difficile mathématiquement de ce travail de doctorat. Sa complexité mathématique réside dans la détermination de plusieurs intégrales dont certaines sont associées au problème de singularité ce qui représente de plus le grand challenge à surmonter de cette étude. Ce challenge est surmonté grâce à une attention particulière investie pour l’évaluation de ces intégrales analytiquement ou semi analytiquement en jouant sur certains changements de variable et sur certains remplacements des fonctions spéciales par des séries polynomiales. Le second grand défi rencontré dans cette étude est la détermination des déflexions de la plaque qui surmonté par l’application de la méthode énergétique de Ritz en adoptant le principe de la solution de Clebsch pour la résolution de l’équation différentielle aux dérivées partielles des déflexions de la plaque étudiée. Enfin, le couplage de ces deux études essentielles avec d’autres études auxiliaires relatives aux caractéristiques géométriques et mécanique de la structure étudiée est accompli par la méthode de Zhemochkin. Après plusieurs simplifications et transformations mathématiques, la méthode de résolution finale est présentée sous une forme matricielle permettant la détermination des efforts de liaison dans la zone de contact et puis par l’application des différentes formules de la théorie d’élasticité, les autres entités physiques sont déterminées à savoir les valeurs des fréquences propres de la plaque, les modes propres de la plaque, sa réponse dynamique à différents types d’excitations extérieures etc. Afin de s’assurer de la fiabilité, l’authenticité et la précision des résultats de calcul donnés par cette approche, une comparaison des valeurs des fréquences propres de la plaque et de sa réponse dynamique due à une excitation harmonique avec le modèle du semi-infini élastique de propriétés distributives (modèle de Boussinesq) est faite. Aussi les valeurs des fréquences propres de la plaque sont vérifiées et authentifiées par l’application du principe de superposition de la méthode modale. Finalement, les fréquences d’excitation de la plaque sont aussi localisées en utilisant l’analyse (FFT) des spectres obtenus à partir des signaux de la réponse dynamique de la plaque.