Transformée de Fourier à Temps Discrets et Applications au Traitement du Signal

Abstract

La transform'ee de Fourier est un outil indispensable pour r'esoudre les 'equations aux d'eriv'ees partielles. Une introduction succinte sur ses propri'et'es et ses applications s'imposent d'une mani`ere naturelle.

Son r^ole consiste, plus pr'ecis'ement, `a transformer un probl`eme diff'erentiel en un probl`eme alg'ebrique facilement r'esoluble. De ce fait, la th'eorie des distributions temp'er'ees lui sert de cadre plus g'en'eral et bien adapt'e aux applications physiques.

Nous allons d'efinir l'espace de Schwartz, qui est l'espace des fonctions de classe ${cal C}^infty$ `a d'ecroissance rapide,{it i.e.} toutes les fonctions de cet espace et toutes leurs d'eriv'ees convergent plus vite que tout polyn^ome quand $x$ tend vers l'infini.

Ainsi, ce m'emoire est compos'e de la pr'esentation actuelle (chapitre 1 ...) et de 4 chapitres, `a savoir : begin{description} item[dg] Chapitre 2: On introduit le notion de fonctions tests et les distributions r'eguli`eres et singuli`ere et leurs d'erivations. Le produit tensoriel de deux fonctions tests sera abord'e dans le but de d'efinir la notion de convolution de deux distributions qui aura des applications manifestes en physique et surtout en th'eorie du signal. item[dgg]Chapitre 3: Nous d'efinissons les espaces de Schwartz et les distributions temp'er'ees ainsi que la transformation de Fourier et sont utilit'e ind'eniable dans la r'esolution des 'equations aux d'eriv'ees partielles. item[dggg] Chapitre 4: La Transformation de Fourier Discr`ete (TFD), qui est un outil ind'eniable dans les divers domaines de la vie courante, sera D'efinie d'une mani`ere succinte et concise. item[dgggg] Chapitre 5: Nous aborderons les applications de la TFD `a quelques exemples de la Th'eorie de Signal. Reste `a signaler que la th'eorie du signal est tr`es vaste et n'ec'essite un effort particulier que nous ne pouvons pas abord'e dans ce m'emoire. %item[dgggg] %item[dggggg] end{description}