Sur la résolubilité des opérateurs différentiels linéaires

Abstract

Le Théorème de Malgrange-Ehrenpreis affirme que tout opérateur différentiel linéaire non nul à coefficients constants admet une solution élémentaire (et est donc résoluble), et celui de Cauchy-Kovalewski garantit l'existence et l'unicité d'une solution analytique pour tout problème de Cauchy à données analytiques associé à un opérateur différentiel linéaire à coefficients analytyques. Dans ce mémoire, je calcule en détail les solutions élémentaires des opérateurs les plus classiques que sont le Laplacien, l'opérateur des ondes, celui de la chaleur, et celui de Schrödinger, énonce clairement les Théorèmes sus cités, reprends en détail la démonstration de Hörmander (celle basée sur la transformée de Fourier) pour le Théorème de Malgrange-Ehrenpreis, et celle de Sofia Kovalevskaïa (utilsant les séries majorantes de Louis Cauchy) pour le Théorème de Cauchy-Kovalewski, et fournis (sans démonstration) deux conditions à la résolubilité d’opérateurs différentiels linéaires (l'une nécessaire et l'autre suffisante) ainsi que trois exemples d’opérateurs sans solution (Hans Lewy, V.V. Grushin, Shigeru Mizohata).