Etude d’un Problème de Cauchy Mal Posé avec des Conditions de Dirichlet

Abstract

Dans ce travail, on étudie un problème inverse du type ‹‹ complétion de données ›› engendré par une équation elliptique : uz z (z, x)Au(z, x) = 0 dans un domaine cylindrique (0 z z1, x 2

Rn, n 2) avec un opérateur A: D(A) H !H densément défini, auto-adjoint et défini positif, où H est un espace de Hilbert séparable. Les conditions de Dirichlet sont données sur la face supérieure du cylindre alors qu’il n’y a pas de conditions sur l’autre face. Notre objectif est de reconstruire les données manquantes à partir des mesures internes effectuées sur la solution. Ce problème de Cauchy est mal posé, et donc une procédure de régularisation est nécessaire pour le stabiliser. En utilisant la décomposition spectrale de l’opérateur A, on peut expliciter la solution formelle du problème sous la forme d’une série de Fourier dont les coefficients de Fourier sont des quotients de deux fonctions sinus-hyperboliques. On propose dans notre étude une méthode de régularisation basée sur la troncature spectrale, qui nous permet de construire une solution approchée et stable. Ensuite, la solution stabilisée sera projetée sur un sous espace de Krylov engendré par l’opérateur A1. Cet algorithme nous fournit une méthode pratique et simple pour calculer numériquement la solution stabilisée. 2010 Mathematics Subject Classification : 35J15, 35J25, 34K30 ; 31A25, 35R25, 47A52 ; 46E40, 47A56 ; 15A16, 15A18 ; 34A55, 65F50, 65F60.