Représentation diffusive des opérateurs pseudo-différentiels et applications

Abstract

Ce travail se veut une contribution à la stabilisation et au contrôle optimal d'un bras flexible articulé par une approche diffusive. L'approche représentation diffusive est le cadre mathématique adapté à l'analyse et à la réalisation dynamique locale en temps des systèmes dont la description fait intervenir des opérateurs non standard de type pseudo-différentiel. Dans ce travail, on se concentre tout d’abord sur la mise en place des représentations diffusives en temps continu : analyse des différentes réalisations de dimension infinie et leur comportement dissipatif, le choix des paramètres influant directement sur l’efficacité et la convergence des approximations réalisées, par la suite on passe à l’application de ces outils au problème de contrôle de structures flexibles. Les bras flexibles possèdent un grand nombre de modes de vibration propres significatifs, ce qui rend leurs contrôles basés sur l’approche modale peu robustes. L’énergie du système, notamment pour les hautes fréquences, est pratiquement incontrôlable en cas d'incertitude sur le modèle. On propose une approche passive pour le contrôle d'un bras flexible articulé à une extrémité et libre à l’autre, basée sur le principe de l’absorption d’ondes par contrôle frontière. Un tel contrôle fait apparaitre un opérateur héréditaire de type pseudo-différentiel, intégrateur d’ordre ½. La réalisation diffusive de cet opérateur a permis la mise en oeuvre en simulation numérique du contrôle, par feedback absorbant d’ondes conférant au système bouclé la propriété de passivité globale, donc une stabilité inconditionnelle. Cette pré-stabilisation conçue à travers un système diffusif, simulant une poutre semi-infinie à l’extrémité articulée et prolongeant virtuellement le bras flexible, permet d’obtenir un problème de contrôle optimal (en boucle fermée) bien posé, dans le cas de poursuite d'une consigne de référence portant sur le mode rigide du bras flexible. C'est la condition initiale de cette diffusion qui détermine la conception du contrôle en couple assurant la stabilisation et le contrôle optimal du bras. Les résultats de simulation ont montré clairement l’efficacité et la robustesse de la méthodologie de l’approche proposée en stabilisation et en poursuite.